Отображение Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Формулировка

Предположим, что $P\subset \mathbb {C}$ — некоторый $n$-угольник, а функция $f$ осуществляет конформное отображение ${\mathbb {H} }^{+}$ на $P$. Тогда $f$ можно представить в виде

$f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}$,

где $a_{1},\dots ,a_{n}$ — прообразы вершин $P$ на вещественной оси, $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на $\pi$ (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а $C_{1}$ и $C_{2}$ — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если $n$-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

$f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}$,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки $a_{1},\dots ,a_{n}$, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля