Пусть
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
f
∈
C
(
Ω
)
{\displaystyle f\in C(\Omega )}
|
f
|
0
;
Ω
=
sup
x
∈
Ω
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}
Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем
α
{\displaystyle \alpha }
f
∈
C
α
(
Ω
)
{\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}
полунорма Гёльдера определяется как
[
f
]
0
,
α
;
Ω
=
sup
x
,
y
∈
Ω
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
.
{\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции
f
{\displaystyle f}
|
f
|
0
,
α
;
Ω
=
|
f
|
0
;
Ω
+
[
f
]
0
,
α
;
Ω
=
sup
x
∈
Ω
|
f
(
x
)
|
+
sup
x
,
y
∈
Ω
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
.
{\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные.
Норма в пространстве функций с k непрерывными производными,
C
k
(
Ω
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega )}
|
u
|
k
;
Ω
=
∑
|
β
|
≤
k
sup
x
∈
Ω
|
D
β
u
(
x
)
|
,
{\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|,}
где
β
=
(
i
1
,
…
,
i
n
)
{\displaystyle \beta =(i_{1},\dots ,i_{n})}
мультииндекс , а
|
β
|
=
i
1
+
⋯
+
i
n
{\displaystyle |\beta |=i_{1}+\dots +i_{n}}
Для функций с производными k- го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем
α
{\displaystyle \alpha }
[
u
]
k
,
α
;
Ω
=
sup
|
β
|
=
k
x
,
y
∈
Ω
|
D
β
u
(
x
)
−
D
β
u
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
{\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}
что дает полную норму
|
u
|
k
,
α
;
Ω
=
|
u
|
k
;
Ω
+
[
u
]
k
,
α
;
Ω
=
∑
|
β
|
≤
k
sup
x
∈
Ω
|
D
β
u
(
x
)
|
+
sup
|
β
|
=
k
x
,
y
∈
Ω
|
D
β
u
(
x
)
−
D
β
u
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
.
{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.
d
x
=
d
(
x
,
∂
Ω
)
{\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}
в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом
d
x
,
y
=
min
(
d
x
,
d
y
)
{\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}
возведённым в соответствующую степень.
Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением
|
u
|
k
,
α
;
Ω
∗
=
|
u
|
k
;
Ω
∗
+
[
u
]
k
,
α
;
Ω
∗
=
∑
|
β
|
≤
k
sup
x
∈
Ω
|
d
x
|
β
|
D
β
u
(
x
)
|
+
sup
|
β
|
=
k
x
,
y
∈
Ω
d
x
,
y
k
+
α
|
D
β
u
(
x
)
−
D
β
u
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
.
{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:
|
u
|
k
,
α
;
Ω
(
m
)
=
|
u
|
k
;
Ω
(
m
)
+
[
u
]
k
,
α
;
Ω
(
m
)
=
∑
|
β
|
≤
k
sup
x
∈
Ω
|
d
x
|
β
|
+
m
D
β
u
(
x
)
|
+
sup
|
β
|
=
k
x
,
y
∈
Ω
d
x
,
y
m
+
k
+
α
|
D
β
u
(
x
)
−
D
β
u
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
.
{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
Рассмотрим ограниченное решение
u
∈
C
2
,
α
(
Ω
)
{\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}
Ω
{\displaystyle \Omega }
∑
i
,
j
a
i
,
j
(
x
)
D
i
D
j
u
(
x
)
+
∑
i
b
i
(
x
)
D
i
u
(
x
)
+
c
(
x
)
u
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}
где исходный член удовлетворяет
f
∈
C
α
(
Ω
)
{\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
∑
a
i
,
j
(
x
)
ξ
i
ξ
j
≥
λ
|
ξ
|
2
{\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}
x
∈
Ω
,
ξ
∈
R
n
,
{\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n},}
а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой
Λ
{\displaystyle \Lambda }
|
a
i
,
j
|
0
,
α
;
Ω
,
|
b
i
|
0
,
α
;
Ω
(
1
)
,
|
c
|
0
,
α
;
Ω
(
2
)
≤
Λ
.
{\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}
Тогда взвешенную
C
2
,
α
{\displaystyle C^{2,\alpha }}
u можно оценить через суп-норму u и норму Гёльдера f :
|
u
|
2
,
α
;
Ω
∗
≤
C
(
n
,
α
,
λ
,
Λ
)
(
|
u
|
0
,
Ω
+
|
f
|
0
,
α
;
Ω
(
2
)
)
.
{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}
Пусть
Ω
{\displaystyle \Omega }
C
2
,
α
{\displaystyle C^{2,\alpha }}
C
2
,
α
{\displaystyle C^{2,\alpha }}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
C
2
,
α
{\displaystyle C^{2,\alpha }}
u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u :
|
u
|
2
,
α
;
Ω
≤
C
(
n
,
α
,
λ
,
Λ
,
Ω
)
(
|
u
|
0
,
Ω
+
|
f
|
0
,
α
;
Ω
+
|
ϕ
|
2
,
α
;
∂
Ω
)
.
{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}
При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.
Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448 Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF ), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42 Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4 Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8 , OCLC 38168365 MR1669352 
![{\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93125855d5ca53098090e33eefc380905a410c77)
![{\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb800f42db97976cfad41bab3da24b9dd06f8df)
![{\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd49cf5f513ee72d2c0c60a16c538e02c9b35d03)
![{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6c9dceaacca643f1ce06e7e9e169317df15302)
![{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d0822993dc8a60d681c5ab03e9ccb5402e6843)
![{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683a55aca47a23570d24fdd801d230a4d39aa619)
