Открыть главное меню
Поверхность Боя — промежуточная конфигурация в одном из способов выворачивания сферы.

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом. Представить конкретный пример такого преобразования достаточно сложно, поэтому этот результат называют парадоксом Смейла[1]. Для наглядности объяснения было создано множество визуализаций.

Процесс выворачивания сферы

ФормулировкаПравить

Пусть   есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений  , такое, что   и  .

ИсторияПравить

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом в 1957 году. Рауль Ботт, дипломный консультант Смейла, сперва заявил, что результат очевидно неверен. Он объяснил это тем, что при таком преобразовании должна сохраняться степень отображения Гаусса. Например, нет такого преобразования для окружности в рамках плоскости. Однако для трёхмерного пространства степени отображений Гаусса у   и у   в   обе равны 1 и не имеют противоположные знаки, вопреки ошибочному предположению. Степень отображения Гаусса для всех погружений   в   равна 1, таким образом нет никаких препятствий.

Вариации и обобщенияПравить

  • Выворачивание сферы можно осуществить также в классе  -гладких изометрических погружений.[2]
  • H-принцип — общий способ решения подобных задач.

ПримечанияПравить

  1. Е. А. Кудрявцева,. “Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты”. Матем. сб., 190:3 (1999), 32. www.mathnet.ru. Дата обращения 23 февраля 2017.
  2. Громов, М. Дифференциальные соотношения в частных производных.

ЛитератураПравить

  • Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
  • Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.

СсылкиПравить