Поверхность Боя

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

ИсторияПравить

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

ПостроениеПравить

  1. Начните со сферического колпака.
  2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
  3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
  4. Склеить оставшиеся края полосок.

СвойстваПравить

  • Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
    • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
  • Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — КунсераПравить

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом[en].[1]

Для комплексного числа  , пусть

 

Поверхность   является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность   задаваемая как

 

и есть поверхности Боя.

ЗамечанияПравить

  • Поверхность остаётся неизменной при замене  , где   комплексно-сопряженное к  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Raymond O'Neil Wells. The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina) (англ.). — American Mathematical Soc., 1988. — P. 227—240. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1482-6. — doi:10.1090/pspum/048/974338.

ЛитератураПравить

Внешние ссылкиПравить