Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма (первая фундаментальная форма, метрический тензор, линейный элемент) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm {I}$.

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

Определение

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$ где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ ― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M'$. (Здесь $r_{u}$ и $r_{v}$ — частные производные радиус-вектора $r$ по $u$ и по $v$ соответственно.) Тогда квадрат главной части приращения длины $|MM'|$ выражается квадратом дифференциала $dr$:

$\mathrm {I} =(dr)^{2}=\langle r_{u},r_{u}\rangle du^{2}+2\langle r_{u},r_{v}\rangle dudv+\langle r_{v},r_{v}\rangle dv^{2}$

и называется первой квадратичной формой поверхности.

Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

$E=|r_{u}|^{2},\ F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,\ G=|r_{v}|^{2}$

или, в тензорных символах,

$\mathrm {I} =dr^{2}=g_{1,1}du^{2}+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}dv^{2}.$

Тензор $g_{i,j}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности

  $EG-F^{2}>0.$

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Метрический тензор

Литература

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.