Открыть главное меню

Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхностиквадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается .

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

ОпределениеПравить

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением   поверхность задана уравнением   где   и   ― внутренние координаты на поверхности;   ― дифференциал радиус-вектора   вдоль выбранного направления смещения из точки   в бесконечно близкую точку  .   и   - частные производные радиус-вектора   по   и по   соответственно. Тогда квадрат главной части приращения длины   выражается квадратом дифференциала  :

 

и называется первой квадратичной формой поверхности.

Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

 

или, в тензорных символах,

 

Тензор   называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

СвойстваПравить

  • Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:
 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
  • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

СсылкиПравить