Перемешивание (динамические системы)

(перенаправлено с «Перемешивание»)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру  — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно меры (например, ограничения на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере .

Пусть - аттрактор хаотической системы, на которой заданы оператор эволюции системы и инвариантная мера . Сегментируем аттрактор на 2 области, и Отношение меры точек из области , которые через итераций оператора эволюции попали в область можно записать следующим образом:

Оператор эволюции является перемешиванием, если при значение не зависит от выбора области а определяется отношением при . Эта формула, с физической точки зрения, описывает размывание любой области начальных условий по всем аттрактору . В пределе, , мера образов точек множества во множестве равна мере множества на аттракторе для произвольных множеств и [1]

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

ОпределенияПравить

Топологическое перемешиваниеПравить

По определению, (непрерывная) динамическая система   называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств   выполнено

 

или, что то же самое,

 

Это, в частности, означает, что для любых заданных   и непустого открытого множества   все итерации   с достаточно большим номером оказываются  -плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешиваниеПравить

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение   называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств   выполнено

 

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций   выполнено

 

Эргодичность меры   является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. М.Ю.Логунов, О.Я.Бутковский. Перемешивание и ляпуновские показатели хаотических систем..

ЛитератураПравить

  • Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
  • Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
  • Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.