Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным[1]. Обозначается, как правило, .

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

ПостроениеПравить

Строится как подпространство плоскости с точками  , где   с изменением топологии в точках  : база окрестностей таких точек — открытые круги   и сама точка  , где   — круг радиуса   с центром в точке  .

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки:   — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

СвойстваПравить

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным ( ) и нелинделёфовым ( ), вещественно полным пространством[3]. Его клеточность и характер счётны ( ,  ), а вес — несчётен ( ). При этом не является счётно паракомпактным[4], слабо паракомпактным[5], локально компактным пространством.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.