Поверхность Дарбу

Пове́рхность Дарбу́ — двумерная поверхность F2 в трёхмерном евклидовом пространстве E3, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в E3.

Компоненты тензора Дарбу вычисляются по формулам:

где  — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а и  — их ковариантные производные.

К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу[1].

Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E3 — двумерные поверхности второго порядка, не развертывающиеся на плоскость[2].

Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E3 характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана[3].

Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в (n+p)-мерных пространствах постоянной кривизны[4].

Всякая циклически рекуррентная поверхность F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в трехмерном евклидовом пространстве E3 локально есть поверхность Дарбу[5].

  • Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в трёхмерном евклидовом пространстве вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны[6].

ПримечанияПравить

  1. Darbouх, G. «Bull. sci. math.», 1880, ser. 2, t. 4. Р. 348—384.
  2. Каган, В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 210—233.
  3. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции . М.: Наука, 1988. С. 326—330.
  4. Бодренко, И. И. Обобщенные поверхности Дарбу в пространствах постоянной кривизны. Saarbrücken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. C. 119—130. ISBN 978-3-659-38863-7.
  5. Бодренко, И. И. Обобщенные поверхности Дарбу в пространствах постоянной кривизны. C. 119—130.
  6. Каган, В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.-Л.: ОГИЗ, 1948.