Мультиномиальный коэффициент

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}$ по мономам $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}$:

$(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.$

Явная формула

Значение мультиномиального коэффициента $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}$ определено для всех целых неотрицательных чисел n и $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$ таких, что $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$:

${\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.$

Биномиальный коэффициент $\textstyle {\binom {n}{k}}$ для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

${n \choose k}={n \choose k,\ n-k}.$

Свойства

• В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}$ равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$.

• $\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}.$

• из формулы Стирлинга при фиксированных $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k}=1$ следует асимптотическая формула ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}$

См. также

• Мультиномиальное распределение