Мультиномиальное распределение

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Определение

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

$\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k$.

Интуитивно событие $\{X_{i}=j\}$ означает, что испытание с номером $i$ привело к исходу $j$. Пусть случайная величина $Y_{j}$ равна количеству испытаний, приведших к исходу $j$:

$Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k$.

Тогда распределение вектора $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }$ имеет функцию вероятности

$p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k}$,

где

${n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}$ — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины $Y_{j}$ имеет вид: $\mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}$. Диагональные элементы матрицы ковариации $\Sigma =(\sigma _{ij})$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

$\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k$.

Для остальных элементов имеем

$\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j$.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен $k-1$.

Литература

• М. де Гроот. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.