Функция вероятности

Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина примет определённое значение. Например, пусть — функция вероятности, тогда вероятность того, что примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения в функцию , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 - это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Стоит обратить внимание, что функция вероятности отличается от плотности вероятности в том, что последняя используется для вычисления вероятностей в случае непрерывной случайной величины. В этом случае идёт речь о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность вычисляется как интеграл от плотности вероятности по этому интервалу.

ОпределенияПравить

Функция произвольной вероятностиПравить

Пусть   является вероятностной мерой на  , то есть определено вероятностное пространство  , где   обозначает борелевскую σ-алгебру на  . Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель   не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество   такое, что  .

Функция  , определённая следующим образом:

 

где   — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности  . Здесь важно понимать, что   - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как  , будучи определённой через  , уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величиныПравить

Пусть   ( ) — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру   на   (на  ), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности   дискретной случайной величины   имеет вид:

 ,

или

 

где   — множество значений, которые принимает  .

Свойства функции вероятностиПравить

Из свойств вероятности очевидно следует:

  •  .
  •  .
  • Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
 .
  • Если  , то
 ,
 ,

где   — функция вероятности вектора  , а   — функция вероятности величины  . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности  .

 ,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределенийПравить

См. такжеПравить