Геометрическое распределение

Геометрическое распределение
Функция вероятности
Geometricpdf.jpg
Функция распределения
Geometriccdf.jpg
Обозначение
Параметры — число «неудач» до первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
— номер первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана N/A N/A
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Под Геометри́ческим распределе́нием в теории вероятностей подразумевают одно из двух распределений дискретной случайной величины:

  • распределение вероятностей случайной величины равной номеру первого «успеха» в серии испытаний Бернулли и принимающей значения  ;
  • распределение вероятностей случайной величины равной количеству «неудач» до первого «успеха» и принимающей значения .

ОпределениеПравить

  • Говорят, что случайная величина   имеет геометрическое распределение с параметром  , и пишут  , если принимает значения   с вероятностями  . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха  .
 .
Построим случайную величину   — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины   называется геометрическим с вероятностью «успеха»  , что обозначается следующим образом:  . Функция вероятности случайной величины   имеет вид:  .

ЗамечаниеПравить

  • Иногда полагают по определению, что   — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму   где  . В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

МоментыПравить

Пусть   и  . Тогда производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

 ,

откуда

 ,
 .
Справедливо, что  .

Свойства геометрического распределенияПравить

  • Из всех дискретных распределений с носителем   и фиксированным средним   геометрическое распределение   является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если   независимы и  , то
 .

Отсутствие памятиПравить

Если  , то  , то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениямиПравить

  • Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения:  .
  • Если   независимы и  , то
 .

ПримерПравить

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки.

  • Рассчитайте вероятность того, что число испытаний, проводимых до первого успеха, включая последнее, успешное испытание будет не больше трёх.
Положим  . Тогда
 
 .
  • Рассчитайте вероятность того, что число «неудач» до первого «успеха» будет не больше двух.
Положим  . Тогда
 
 .

См. такжеПравить