Геометрическое распределение

Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины $X$, принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями $p_{m}=\mathbb {P} \{X=m\}=p(1-p)^{m}$, где параметр $p$ — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна $p$, а непоявления — $1-p$. Наименование связано с тем, что вероятности $p_{m}$ убывают в геометрической прогрессии. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри). Обозначение — $X\sim \mathrm {Geom} (p)$.

Геометрическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm {Geom} (p)$
Параметры	$n\geqslant 0$ — число испытаний до первого появления события $0<p<1$ — вероятность появления события
Носитель	$n\in \{0,1,2,3,\dots \}$
Функция вероятности	$p(1-p)^{n}$
Функция распределения	$1-(1-p)^{n+1}$
Математическое ожидание	${\frac {1-p}{p}}$
Медиана	неопределена
Мода	$0$
Дисперсия	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$
Коэффициент эксцесса	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$
Дифференциальная энтропия	$-\log _{2}p-{\frac {1-p}{p}}\log _{2}(1-p)$
Производящая функция моментов	${\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}};t<-\ln(1-p)$
Характеристическая функция	${\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}$

Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной $k$-му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при $k=1$.

Свойства

Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:

$\mathbb {E} [X]={\frac {1-p}{p}}$, $\mathbb {D} [X]={\frac {1-p}{p^{2}}}$,

$P(t)={\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}$,

$\phi _{X}(t)={\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}$.

Одно из особенных свойств — отсутствие последствия (англ. memorylessness): для любых целых неотрицательных $m$ и $n$ условная вероятность геометрически распределённой случайная величины $X$ показывает независимость от предыдущих значений:

$\mathbb {P} \{X\geqslant m+n\mid X\geqslant m\}=\mathbb {P} \{X\geqslant n\}$,

иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного.

Из всех дискретных распределений с носителем $\{1,2,3,\dots \}$ и фиксированным средним $\mu >1$ геометрическое распределение $\mathrm {Geom} (1/\mu )$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если геометрически распределённые случайные величины $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом:

$\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})\right)$.

Примеры и приложения

В игральных костях случайная величина $X$, соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром $p=1/6$, то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — $1/6$, $1/6\cdot 5/6$, $1/6\cdot (5/6)^{2}$ соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром $p$, равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при $p=0{,}6$ вероятность попадания при третьем выстреле равна $0{,}4^{2}\cdot 0{,}6=0{,}096$.

Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания M/M/1 количество заявок на обслуживание распределено геометрически, и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования.

Литература

• Геометрическое распределение / В. Ф. Колчин // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — Стб. 940. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Geometric distribution  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• А. С. Монин. Геометрическое распределение // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 140. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 9-е. — М.: Высшая школа, 2003. — 498 с. — ISBN 5-06-004214-6.