Геометрическое распределение

Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями , где параметр  — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна , а непоявления — . Наименование связано с тем, что вероятности убывают в геометрической прогрессии[1]. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри)[2]. Обозначение — .

Геометрическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры — число испытаний до первого появления события
— вероятность появления события
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана неопределена
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной -му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при .

Свойства

править

Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:

 ,  ,
 ,
 .

Одно из особенных свойств — отсутствие последствия (англ. memorylessness): для любых целых неотрицательных   и   условная вероятность геометрически распределённой случайная величины   показывает независимость от предыдущих значений:

 ,

иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного[3].

Из всех дискретных распределений с носителем   и фиксированным средним   геометрическое распределение   является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если геометрически распределённые случайные величины   независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом[4]:

 .

Примеры и приложения

править

В игральных костях случайная величина  , соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром  , то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске —  ,  ,   соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром  , равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при   вероятность попадания при третьем выстреле равна  [5].

Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания M/M/1[англ.] количество заявок на обслуживание распределено геометрически[6], и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования[7].

Примечания

править
  1. ВМСЭ, 1999.
  2. Johnson N. L., Kemp A. W., Kotz S. Univariate Discrete Distributions. — Wiley, 2005. — ISBN 978-0-471-27246-5.
  3. БРЭ.
  4. Ciardo G., Leemis L. M., Nicol D. On the minimum of independent geometrically distributed random variables (англ.) // Statistics & Probability Letters. — 1995. — Vol. 23, iss. 4. — P. 313–326.
  5. Гмурман, 2003, §7. Геометрическое распределение, с. 72—73.
  6. Daskin M. S. Bite-Sized Operations Management. — Springer, 2021. — ISBN 978-3-031-01365-2. — doi:10.1007/978-3-031-02493-1.
  7. Gupta R., Gupta S., Ali I. Some Discrete Parametric Markov–Chain System Models to Analyze Reliability // Advances in Reliability, Failure and Risk Analysis. — Singapore: Springer Nature, 2023. — С. 305–306. — doi:10.1007/978-981-19-9909-3_14.

Литература

править