Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

править

Случайная величина   называется бесконечно делимой, если для любого   она может быть представлена в виде

 ,

где  независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

править

 .

  • Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
  • Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
  • Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

править

Теорема Колмогорова

править

Для того, чтобы функция распределения   c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции   имел вид:

 ,

где   — вещественная постоянная, а   — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

править

Пусть   — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на  . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации  , такая что

 

Примеры

править
 

для некоторого  . Тогда случайная величина  , имеющая вид

 

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

править

Распределение   на локально компактной абелевой группе   называется бесконечно делимым, если для каждого натурального   существует элемент   и распределение   на   такой, что  , где   - вырожденное распределение, сосредоточенное в   (см. [1], [2]).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

править

Литература

править

Примечания

править