Открыть главное меню

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Содержание

ОпределениеПравить

Случайная величина   называется бесконечно делимой, если для любого   она может быть представлена в виде

 ,

где  независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределенийПравить

 .

  • Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
  • Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
  • Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределенийПравить

Теорема КолмогороваПравить

Для того, чтобы функция распределения   c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции   имел вид:

 ,

где   — вещественная постоянная, а   — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — ХинчинаПравить

Пусть   — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на  . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации  , такая что

 

ПримерыПравить

 

для некоторого  . Тогда случайная величина  , имеющая вид

 

не является бесконечно делимой.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить