Гамма-распределение

Гамма распределение
Плотность вероятности
Probability density plots of gamma distributions
Функция распределения
Cumulative distribution plots of gamma distributions
Обозначение или [1]
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана Отсутствует явное выражение в закрытой форме Отсутствует явное выражение в закрытой форме
Мода при при
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов при при
Характеристическая функция


Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

ОпределениеПравить

Пусть распределение случайной величины   задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

  где   — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина   имеет гамма-распределение с положительными параметрами   и  . Пишут  .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

МоментыПравить

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины  , имеющей гамма-распределение, имеют вид

 ,
 .

Свойства гамма-распределенияПравить

  • Если   — независимые случайные величины, такие что  , то
 .
  • Если  , и   — произвольная константа, то
 .

Связь с другими распределениямиПравить

 .
  • Если   — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что  , то
 .
 .
  при  .
  • Если   — независимые случайные величины, такие что  , то
 .

Моделирование гамма-величинПравить

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение   совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то  .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

 

где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать   и   — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если  , где  , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить  . Перейти к шагу 6.
  5. Положить  .
  6. Если  , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять   за реализацию  .


Подытожим:

 

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить