Распределение Рэлея

Распределение Рэлея — распределение вероятностей случайной величины $Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$, где ${X}$ и ${Y}$ — независимые гауссовские случайные величины, имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ${{\sigma }^{2}}$. Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:

Распределение Рэлея
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$\sigma >0$
Носитель	$x\in [0;\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}\exp \left(-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}}\right)$
Функция распределения	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Математическое ожидание	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sigma$
Медиана	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}$
Мода	$\sigma$
Дисперсия	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
Коэффициент эксцесса	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Дифференциальная энтропия	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
Производящая функция моментов	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Характеристическая функция	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

$f(z)={\frac {z}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),z\geqslant 0,\sigma >0,$

где $\displaystyle \sigma$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

$F(z)={\mathsf {P}}(Z<z)=\int \limits _{0}^{z}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),z\geqslant 0.$

Введено впервые в 1880 году Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

• В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как $X$ и $Y$, получим выражение для величины промаха в виде $R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$. В этом случае величина $R$ имеет распределение Рэлея.
• В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Связь с другими распределениями

• Если независимые гауссовские случайные величины ${X}$ и ${Y}$ имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
• Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с ${\sigma =1}$ имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.

См. также

• Закон Рэлея — Джинса
• Распределение Райса
• Нормальное распределение

Литература

• Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. — М.: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.