Распределение Накагами

Распределе́ние Накага́ми или m-распределение Накагами — двупараметрическое одномерное распределение вероятности, связанное с гамма-распределением вероятностей.

Распределение Накагами
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$\mu >=0.5$ real) $\omega >0$ (real)
Носитель	$x>0$
Плотность вероятности	${\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{2\mu -1}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)$
Функция распределения	${\frac {\gamma \left(\mu ,{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (\mu )}}$
Математическое ожидание	${\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\left({\frac {\omega }{\mu }}\right)^{1/2}$
Медиана	нет приблизительно точной формы
Мода	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2\mu -1)\omega }{\mu }}\right)^{1/2}$
Дисперсия	$\omega \left(1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\right)^{2}\right)$

Предложена для исследования случайных процессов в линиях связи М. Накагами в 1960 г.

Определение

Распределение зависит от двух параметров $\omega >0$ и $\mu \geq 1/2$ и определено для всех $x\geq 0$. Функция плотности вероятности распределения:

$f(x;\,\mu ,\omega )={\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{2\mu -1}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right),$

где $\Gamma (\mu )$ — гамма-функция.

Оценка параметров

Параметры $\omega$ и $\mu$ оцениваются следующим образом:

$\mu ={\frac {\operatorname {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},$

и

$\omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].$

История и применение

Распределение Накагами является относительно новым. Оно было предложено в 1960 году. Используется для моделирования замираний сигналов в беспроводных каналах связи при распространении сигнала по нескольким различным путям.

Связь с другими распределениями

• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.