Распределение Пирсона

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения , где числа являются параметрами распределения.[1] Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.[2]

СвойстваПравить

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть   является   центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если  , то

 ,
 ,
 ,
 ,

где  .[1]

Типы распределений ПирсонаПравить

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена   различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим  ,  .[1]

I типПравить

Распределениями Пирсона I типа являются бета - распределения. Условия:  ,  ,  ,   Плотность вероятности:  , где  ,  .[1]

II типПравить

Условия как для I типа с дополнительными условиями  .[1]

III типПравить

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  .[1]

IV типПравить

Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  ,  ,  , где  .[3]

V типПравить

Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  .[3]

VI типПравить

Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  .[3]

VII типПравить

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  ,  ,  .[3]

VIII типПравить

Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  .[3]

IX типПравить

Условия:  ,  ,  . Плотность вероятности:  . [3]

X типПравить

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия:  ,  ,  ,  . Плотность вероятности:  [2]

XI типПравить

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия:  ,   неопределённо,  . Плотность вероятности:  .[2]

XII типПравить

Условия как для I типа с дополнительными условиями  .[1]

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 7 Королюк, 1985, с. 133.
  2. 1 2 3 Королюк, 1985, с. 135.
  3. 1 2 3 4 5 6 Королюк, 1985, с. 134.

ЛитератураПравить