Распределение Пирсона

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения ${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}}f(x)$, где числа $a_{0},a_{1},b_{0},b_{1},b_{2}$ являются параметрами распределения. Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.

Свойства

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть $\mu _{k}$ является $k$ центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если $a_{1}=1$, то

$a_{0}={\frac {\mu _{3}(\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}$,

$b_{0}=-{\frac {\mu _{2}(4\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2})}{A}}$,

$b_{1}=-{\frac {\mu _{3}(4\mu _{2}\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}$,

$b_{2}=-{\frac {2\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2}-6\mu _{2}^{3}}{A}}$,

где $A=10\mu _{4}\mu _{2}-18\mu _{2}^{3}-12\mu _{3}^{2}$.

Типы распределений Пирсона

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}$ различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим $D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}$, $\lambda ={\frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}$.

I тип

Распределениями Пирсона I типа являются бета — распределения. Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(-\beta +x)b_{2}$, $\alpha ,\beta >0$ Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2m}\beta ^{2n}}{(\alpha +\beta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(\alpha +x)^{m}(\beta -x)^{n},&x\in [-\alpha ,\beta ]\\0,&x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{cases}}$, где $B(m+1,n+1)={\frac {\Gamma (m+1)\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+n+2)}}$, $m>-1,n>-1$.

II тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=n$.

III тип

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: $D<0$, $\lambda =\infty$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(\alpha +x)b_{1}$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {k^{m+1}}{\Gamma (m+1)}}(\alpha +x)^{m}e^{-k(\alpha +x)},&x>-\alpha ,k>0\\0,&x\leqslant -\alpha \end{cases}}$.

IV тип

Условия: $D>0$, $0<\lambda <1$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)=c(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}$, $x\in (-\infty ,\infty )$, $m\geqslant {\frac {1}{2}}$, где $c^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}dx$.

V тип

Условия: $D=0$, $\lambda =1$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)^{2}b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {\gamma ^{m-1}}{\Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{\frac {\gamma }{x}}},&\gamma >0,m>1,x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}$.

VI тип

Условия: $D<0$, $\lambda >1$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(x-\beta )b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {(\alpha +\beta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+\alpha )^{m}(x-\beta )^{n},&x>\beta ,m-1>0,n>-1\\0,&x\leqslant \beta \end{cases}}$.

VII тип

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: $D>0$, $\lambda =0$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}$, $x\in (-\infty ,\infty )$, $m\geqslant {\frac {1}{2}}$.

VIII тип

Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}$.

IX тип

Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],m<-1\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}$.

X тип

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: $D=0$, $\lambda =0$, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}$, $a_{1}=0$. Плотность вероятности: $f(x)={\begin{cases}\gamma e^{-\gamma x},&x>0,\gamma >0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}$

XI тип

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: $D=0$, $\lambda$ неопределённо, $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}$. Плотность вероятности: $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}},x\in (-\infty ,\infty )$.

XII тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=-n$.

Литература

• Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.