Открыть главное меню

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Распределение Коши
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши Плотность вероятности
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше Функция распределения
Обозначение
Параметры коэффициент сдвига
коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание не существует
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии не существует
Коэффициент эксцесса не существует
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть распределение случайной величины   задаётся плотностью  , имеющей вид:

 ,

где

  •   — параметр сдвига;
  •   — параметр масштаба.

Тогда говорят, что   имеет распределение Коши и пишут  . Если   и  , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределенияПравить

Функция распределения Коши имеет вид:

 .

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

 

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

МоментыПравить

Так как интеграл Лебега

 

не определён для  , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен:   ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойстваПравить

  • Распределение Коши бесконечно делимо.
  • Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если  , то
 

Связь с другими распределениямиПравить

  • Если  , то
 .
  • Если   — независимые нормальные случайные величины, такие что  , то
 [1][2].
 .

Появление в практических задачахПравить

  • Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее[1]:

Если  , то    (− ), поэтому  . В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).

  • В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
  • Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Галкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. 2014. № 2(104). С. 314
  2. Распределение Коши // risktheory.novosyolov.com