Метод обратного преобразования
Ме́тод обра́тного преобразова́ния (Преобразование Н. В. Смирнова) — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Inversion_method2.svg/300px-Inversion_method2.svg.png)
Описание алгоритма
правитьПусть является функцией произвольного распределения. Покажем как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения .
Строго возрастающая функция распределения
правитьЕсли функция строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию .
- Пусть — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
- Тогда , где , — выборка из интересующего нас распределения.
Пример
правитьПусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром . Функция этого распределения строго возрастает, и её обратная функция имеет вид . Таким образом, если — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то , где
— искомая выборка из экспоненциального распределения.
Неубывающая функция распределения
правитьЕсли функция лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.
- Пусть — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
- Тогда , где , — выборка из интересующего нас распределения. Равенство точной нижней грани минимуму выполняется ввиду непрерывности функции распределения справа, что означает, что точная нижняя грань достигается.
Замечания
править- Если строго возрастает, то . Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
- Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции, как, например, в случае нормального распределения. В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань, что может быть очень трудоёмко.
Математическое обоснование
правитьПусть , то есть . Рассмотрим функцию распределения случайной величины .
- .
То есть имеет функцию распределения .
См. также
правитьЛитература
правитьВадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001, 295 с.