Отрицательное биномиальное распределение

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха , проводимых до -го успеха.

Отрицательное биномиальное распределение
Negbinomial.gifФункция вероятности
Обозначение
Параметры

Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Мода если
если
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

ОпределениеПравить

Пусть   — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

 

Построим случайную величину   следующим образом. Пусть   — номер  -го успеха в этой последовательности. Тогда  . Более строго, положим  . Тогда

 .

Распределение случайной величины  , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут:  .

Функции вероятности и распределенияПравить

Функция вероятности случайной величины   имеет вид:

 .

Функция распределения   кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

 .

МоментыПравить

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

 ,

откуда

 
 

СвойстваПравить

Пусть  , тогда  

Частные случаи отрицательного биномиального распределенияПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Schopper H. (Ed.) Electron - Positron Interactions. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/