Бета-функция

График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине.

СвойстваПравить

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

 

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

 

где   — Гамма-функция;

 
 
 

где   — нисходящий факториал, равный  .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

 

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

 

ПроизводныеПравить

Частные производные у бета-функции следующие:

 
 

где   — дигамма-функция.

Неполная бета-функцияПравить

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку   на интеграл с переменным верхним пределом:

 

При   неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

 

Свойства  Править

 
 
 
 

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.

См. такжеПравить