Открыть главное меню

Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как[1]

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциямиПравить

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

 

Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха[en] (англ. Lerch transcendent),

 

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2].

Функциональное соотношениеПравить

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

 

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значенияПравить

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

 
 
 
 
 
 
 
 

где Gпостоянная Каталана, а   — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

 

где E2kчисла Эйлера. Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

 
 

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2].

Приблизительные значенияПравить

s приблизительное значение β(s) OEIS
1 0.7853981633974483096156608

A003881

2 0.9159655941772190150546035

A006752

3 0.9689461462593693804836348

A153071

4 0.9889445517411053361084226

A175572

5 0.9961578280770880640063194

A175571

6 0.9986852222184381354416008

A175570

7 0.9995545078905399094963465
8 0.9998499902468296563380671
9 0.9999496841872200898213589
10 0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции ДирихлеПравить

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически[2],

 
 
 

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Christopher Clapham, James Nicholson. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. — Oxford University Press, 2014. — С. 138. — 544 с. — ISBN 9780199679591.
  2. 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (HTML). mathworld.wolfram.com. Дата обращения 10 февраля 2015.

ЛитератураПравить

  • J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
  • 'Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.