Полигамма-функция

Дигамма-функция
Тригамма-функция
Тетрагамма-функция
Пентагамма-функция

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

где  — гамма-функция, а

дигамма-функция[1], которую также можно определить через сумму следующего ряда:

где  — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности первого порядка)[2].

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z[1]. Это представление также справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица[1],

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе иногда обозначается как или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция называется тригамма-функцией,  — тетрагамма-функцией,  — пентагамма-функцией,  — гексагамма-функцией, и т. д.

Интегральное представлениеПравить

Полигамма-функция может быть представлена как

 

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

 

где  постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложенияПравить

При   ( ) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

 

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

 

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значенияПравить

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

 
 

а для дигамма-функции (при m=0) —

 
 

где  постоянная Эйлера—Маскерони[1].

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулыПравить

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[1]

 

а также формуле дополнения[1]

 

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[1]:

 

а для дигамма-функции ( ) к правой части надо добавить lnk[1],

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Eric W. Weisstein. Digamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

СсылкиПравить