Тригамма-функция

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается и определяется как

Тригамма-функция действительного аргумента x

где гамма-функция[1]. Из этого определения следует, что

где дигамма-функция (первая из полигамма-функций)[2].

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function)[2],

Эти формулы верны, когда (в указанных точках функция имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для , используемые в литературе:

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции [1].

Интегральные представленияПравить

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

 

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

 

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t:

 

Другие формулыПравить

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[2]

 

а также формуле дополнения[2]

 

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[2]:

 

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

 

Частные значенияПравить

Ниже приведены частные значения тригамма-функции[1]:

 
 
 
 
 
 

где Gпостоянная Каталана, а  функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

 

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь   с функцией Клаузена[3][4], получаем:

 
 
 
 
 
 

Для значений за пределами интервала   можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например[1],

 
 
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral  , J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342
  4. P.J. de Doelder, On the Clausen integral   and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330

СсылкиПравить