Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд $\sum a_{n}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\sum |a_{n}|$, иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл $\int f(x)\,dx$ от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля $\int |f(x)|\,dx$.

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды

Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения

Если $\exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$ при $n\geqslant N_{0}$, то:

• если ряд $\sum b_{n}$ сходится, то ряд $\sum a_{n}$ сходится абсолютно
• если ряд $\sum a_{n}$ расходится, то ряд $\sum b_{n}$ расходится

Согласно критерию Коши, $\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{k=n}^{m}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon$. Значит, $\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leqslant \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|\leqslant \sum _{k=n}^{m}b_{k}\leqslant \left|\sum _{k=n}^{m}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon$, и по критерию Коши ряд $\sum a_{n}$ сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд $\sum b_{n}$ сходился, то и ряд $\sum a_{n}$ сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum _{k=0}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+8a_{8}+...$

Доказательство

Обозначим:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{k}a_{2^{k}}$

Поскольку сходимость ряда с неотрицательными членами эквивалентна ограниченности последовательности его частичных сумм, то достаточно показать, что $s_{n}$ и $t_{k}$ ограничены или не ограничены одновременно.

При $n<2^{k}$ имеем

$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{2^{k}}+...+a_{2^{k+1}-1})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{k}a_{2^{k}}=t_{k}$

Таким образом, $s_{n}\leqslant t_{k}$

С другой стороны, при $n>2^{k}$

$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+...+a_{2^{k}})\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1}a_{2^{k}}={\frac {1}{2}}t_{k}$

Таким образом, $2s_{n}\geqslant t_{k}$ и последовательности $s_{n}$ и $t_{k}$ или обе ограничены, или обе не ограничены.

Признаки Коши и д’Аламбера

Признак д’Аламбера

Ряд $\sum a_{n}$

1. Сходится абсолютно, если $\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$
2. Расходится, если $\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

Признак Коши

Пусть задан ряд $\sum a_{n}$ и $\alpha =\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$. Тогда

1. Если $\alpha <1$, то ряд сходится абсолютно
2. Если $\alpha >1$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\alpha =1$

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями $\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ и $\alpha$ соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Пусть задан ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},a_{n}\geqslant 0$ и функция $f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такая, что:

• $f(x)$ нестрого монотонно убывает: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$
• $\forall \ n:\ f(n)=a_{n}$

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и интеграл $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно, причём $\forall k\geqslant 1\ \sum _{n=k}^{\infty }a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^{\infty }f(x)dx\geqslant \sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}$

Признак Раабе

Пусть задан ряд $\sum a_{n}$, $a_{n}>0$ и $R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$.

1. Если $\varliminf _{n\to \infty }R_{n}>1$, то ряд сходится
2. Если $\varlimsup _{n\to \infty }R_{n}\leqslant 1$, то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\varliminf _{n\to \infty }R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{n\to \infty }R_{n}$

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

Действия над рядами

• Если оба ряда $\sum a_{n}$ и $\sum b_{n}$ сходятся абсолютно, то и их сумма $\sum (a_{n}+b_{n})$ сходится абсолютно
• Если хотя бы один из рядов $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ сходится абсолютно, то их произведение по Коши $\sum c_{n},c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$ сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
• Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры

Рассмотрим ряд ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...$. Для этого ряда:

• $\varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}=0$
• $\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{\frac {1}{2^{n}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
• $\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-(-1)^{n}}$

• $\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n+1+1}}{2^{n-1}}}=8$
• $\varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n+1-1}}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}$
• $\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }2{\sqrt[{n}]{2^{(-1)^{n}}}}=2$

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ сходится при $\alpha >1$ и расходится при $\alpha \leqslant 1$, однако:

• $\varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$
• $\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }n^{\alpha /n}=1$
• $\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода

Определение

Несобственный интеграл первого рода $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$.

Свойства

• из сходимости интеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

Определение

Пусть $f(x)$ определена и интегрируема на $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)$, неограничена в левой окрестности точки $b$. Несобственный интеграл второго рода $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$.

Свойства

• из сходимости интеграла $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ вытекает сходимость интеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$.
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

См. также

• Условная сходимость
• Безусловная сходимость