Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ является сходящимся.

Свойства

• Если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент $x\in X,$ такой, что $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}=x,$ для произвольной перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} .$
• Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rⁿ, тогда вследствие теоремы Римана, ряд $\sum x_{n}$ является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
• Если $\{x_{n}\}$ — последовательность элементов гильбертова пространства H, то из безусловной сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ следует $\sum _{n=1}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

• для произвольной последовательности $(\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }$, где $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $(\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }$, такой, что $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{k_{n}}$ является сходящимся.
• для произвольного $\varepsilon >0$ существует конечное подмножество $I\subset \mathbb {N} ,$ такое, что $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\varepsilon$ для произвольного конечного подмножества $J\subset \mathbb {N} \setminus I$

Пример

Пусть дано пространство $l^{p}\,,$ где $1<p<\infty$ — банахово пространство числовых последовательностей с нормой $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$. Рассмотрим в нём последовательность $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n}},0,\ldots ),$ где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

• Абсолютная сходимость
• Условная сходимость

Ссылки

• Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств (недоступная ссылка)
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer (англ.)
• Безусловная сходимость (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции) (недоступная ссылка), К.: Радянська Школа, 1948.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .