Открыть главное меню

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

,

то данный ряд сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Предельная формаПравить

Если существует предел

 ,

то рассматриваемый ряд сходится если  , а если   — расходится.

Замечание 1. Если  , то радикальный признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если  , и последовательность   стремится к своему пределу   сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

ДоказательствоПравить

Прежде всего нужно отметить, что если признак Коши выполняется для последовательности  , начиная с некоторого номера  , то можно рассмотреть подпоследовательность последовательности  , как раз начиная с этого номера. Ряд, составленный из такой подпоследовательности, будет сходиться. Но тогда будет сходиться и исходный ряд, поскольку конечное число   начальных членов последовательности   не влияет на сходимость ряда. В таком случае для упрощения доказательства имеет смысл принять  , то есть принять, что признак Коши выполняется для всех натуральных  .

  1. Пусть для всех натуральных   верно неравенство  , где  . Тогда можно записать  ,  , …,   , и так далее. Поскольку и  , и все члены последовательности   неотрицательны, систему неравенств можно переписать так:  ,  , …,   , и так далее. Складывая первые   неравенств, получим  . Это означает, что  -я частичная сумма ряда меньше  -й частичной суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом  . Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии сходится, поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов исходный ряд тоже сходится.
  2. Пусть   (для всех натуральных  ): тогда можно записать  . Это означает, что модуль членов последовательности   не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность   не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется. Поэтому ряд расходится.
  3. Пусть   для всех натуральных  . При этом не существует такого  ,  , что   для всех натуральных  . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда   и   удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда   верно   для любого натурального  , кроме  . В то же время, поскольку  , это означает, что для любого  ,   можно подобрать такое число  , что   , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности  , где  , будут находиться на интервале  , то есть  . А это и означает, что не существует такого  ,  , что   для всех натуральных  . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда: точно также для всех   верно  ,  . Но при этом второй ряд сходится.

ПримерыПравить

1. Ряд

 
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши
 

2. Рассмотрим ряд

 
 ряд сходится.

См. такжеПравить