Полугладкая функция

Полугладкая функция — обобщение понятия гладкая функция, включающее гладкие, выпуклые, кусочно-линейные функции.

Определение

Функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется полугладкой если в каждой точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ существует подмножество $\partial _{x}f$ линейных операторов $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такое что для любой последовательности $x_{n}\to x$ и $\ell _{n}\in \partial _{x_{n}}f$ выполнено

${\frac {f(x)-f(x_{n})-\ell _{n}(x-x_{n})}{x-x_{n}}}\to 0$.

Литература

• Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения