Полярный треугольник

Поля́рный треуго́льник — понятие сферической тригонометрии^[1].

Полярный треугольник для сферического треугольника — новый сферический треугольник, стороны которого лежат на полярах вершин исходного треугольника. Другими словами, каждая вершина исходного произвольного сферического треугольника лежит на оси большой окружности, содержащей соответствующую сторону полярного сферического треугольника, причём лежит с той же стороны, что и третья вершина полярного сферического треугольника^[2]^[3].

Поляра точки на сфере — большая окружность, ось которой проходит через исходную точку, которая называется полюсом поляры. Поляра отстоит от своих двух полюсов на $90^{\circ }$ , или четверть окружности^[4]^[5].

Ось окружности в пространстве — перпендикуляр, восстановленный к плоскости окружности в её центре^[6].

Полярно сопряжённые точки на сфере — пара следующих точек на сфере:

любая точка на большой окружности,
любой из двух полюсов этой большой окружности,

другими словами, две точки сферы полярно сопряжены, если диаметры, проходящие через них, перпендикулярны^[5].

Определения

Полярный треугольник для сферического треугольника — новый сферический треугольник, стороны которого лежат на полярах вершин исходного треугольника. Другими словами, каждая вершина исходного произвольного сферического треугольника лежит на оси большой окружности, содержащей соответствующую сторону полярного сферического треугольника, причём лежит с той же стороны, что и третья вершина полярного сферического треугольника^[2]^[3].

Свойства

Полярные треугольники обладают свойством взаимности^[7]: если сферический треугольник ABC полярен относительно сферического треугольника LMN, то и сферический треугольник LMN полярен относительно сферического треугольника ABC. Углы одного из полярных друг относительно друга треугольников дополняют стороны другого треугольника до развёрнутого угла. Таким образом, каждая теорема или формула, относящаяся к сторонам и углам треугольника, может быть преобразована в двойственную теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника.

Если все стороны сферического треугольника меньше прямого угла, он будет лежать внутри полярного треугольника. Если все стороны сферического треугольника больше прямого угла, он будет сам содержать полярный треугольник. Если хотя бы одна сторона сферического треугольника меньше или равна прямому углу, тогда как остальные — больше, то он будет пересекаться с полярным треугольником^[8]. Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярен самому себе.

История

Самый ранний пример применения полярного треугольника содержится в «Трактате о познании небесных дуг» Абу Насра ибн Ирака. Ибн Ирак вводит полярный треугольник при вычислении сторон данного сферического треугольника по трём его углам. Аналогичным методом пользовались впоследствии ал-Джайяни в «Книге о неизвестных дугах сферы» и Насир ад-Дин ат-Туси в «Трактате о полном четырёхстороннике».

Понятие «полярный треугольник» в Европе распространилось в 18 веке благодаря В.Снеллиусу^[9], который вывел его основные свойства^[10].

Примечания

↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, I. Введение‿, с. 7.
↑ ¹ ² Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 12.
↑ ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 530—531.
↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 7—8.
↑ ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 522.
↑ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 521—522.
↑ Weisstein Eric W. Polar Triangle, 2024.
↑ Степанов Н.Н. Полярный сферический треугольник и его свойства // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 12—14. — 154 с.
↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 14.
↑ Rouse Ball W. W. A short account of the history of mathematics, 1960, Snell, p. 210.

Источники

Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. 2-е изд. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 154 с., ил.
Rouse Ball W. W.^[англ.] A short account of the history of mathematics. 4th edition. New York: Dover Publications, Inc, 1960. 439 p.
Weisstein Eric W. Polar Triangle // Wolfram MathWorld Архивная копия от 25 сентября 2024 на Wayback Machine

Литература

Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.

[_9a0ce0a61c570f33-1] Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, I. Введение‿, с. 7.

[_012e760a3a6d507c-2] ¹ ² Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 12.

[_4528fb16bc2e84a2-3] ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 530—531.

[_03976008f454460e-4] Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 7—8.

[_08002fbf59d4b404-5] ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 522.

[_f9fee2dc83c5c610-6] Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.2. Полярные треугольники, с. 521—522.

[_8cad4d9a69d07a06-7] Weisstein Eric W. Polar Triangle, 2024.

[St_p-8] Степанов Н.Н. Полярный сферический треугольник и его свойства // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 12—14. — 154 с.

[_cef72c0a1e7c2d9e-9] Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 5. Полярный сферический треугольник и его свойства, с. 14.

[_c1784ccbcf65da88-10] Rouse Ball W. W. A short account of the history of mathematics, 1960, Snell, p. 210.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]