Сферический треугольник
Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_triangle_3d.png/250px-Spherical_triangle_3d.png)
Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, а углы меньше π, называется эйлеровым[1]:9. Далее рассматриваются эйлеровы треугольники.
Свойства
править- Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны[1]:16. В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными. В сферической геометрии любое преобразование подобия является изометрическим (то есть коэффициент подобия всегда равен единице), поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур (то есть фигур, переводящихся друг в друга преобразованием подобия).
- Полярным для данного сферического треугольника (ABC) называется такой сферический треугольник (A’B’C'), вершины которого A', B', C' являются полюсами[a] по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно. При этом точки A и A', B и B', C и C' лежат по одну сторону относительно BC, CA, AB соответственно.[3]
- Для любого полярного треугольника выполняются следующие правила: ; , где угол и сторона .
- Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярным к самому себе.
- Полярный треугольник, построенный к полярному треугольнику для некоего сферического, совпадает с исходным.
- Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности[1]:11.
- Сумма углов сферического треугольника всегда меньше и больше [6][7][1]:14—15.
- Величина называется сферическим избытком или сферическим эксцессом[4].
- Площадь сферического треугольника определяется по формуле . Пропорциональность площади сферическому избытку следует из покрытия сферы тремя двуугольниками, образующими сферический треугольник.[8][9][1]:44
- Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший [1]:15.
- В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два или три прямых или тупых угла.
Решение сферических треугольников
правитьПрямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними[1]:102—139:
- Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
- Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
- Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.
Комментарии
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 521.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 530.
- ↑ 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.
- ↑ Сферический треугольник
- ↑ Статья Архивная копия от 23 сентября 2013 на Wayback Machine в «Успехах физических наук»
- ↑ Weisstein, Eric W. Сферический треугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115 с. (доступно на bookfi.org). Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82
- ↑ Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника Архивная копия от 5 февраля 2018 на Wayback Machine // «Квант», № 2, 1988
Литература
править- Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§ 1. Сферическая геометрия.)
- Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518—558.