Мнемоническое правило Непера

Мнемоническое правило Непера — форма записи основных соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике, лёгкая для запоминания.

Иллюстрация мнемонического правила Непера.

Формулировка и обоснование правила

править

Формулировка

править

Мнемоническое правило Непера можно сформулировать так[1]:

Для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника косинус среднего элемента равен произведению котангенсов соседних, а для трёх несмежных элементов косинус элемента, расположенного отдельно от других двух, равен произведению их синусов. При этом вместо катетов берутся их дополнения до 90 градусов, а прямой угол вообще не считается элементом.

Два примера:

 
 

Чтобы правило было удобнее применять, рисуют круг, делят его радиусами на пять частей и записывают в них все элементы прямоугольного сферического треугольника за исключением прямого угла в той последовательности, в которой они расположены в треугольнике. Каждый катет помечают горизонтальной чертой над ним или апострофом рядом с ним — знак дополнения катета до 90 градусов. На круге нетрудно найти нужные три элемента и применить к ним мнемоническое правило.

История

править

Мнемоническое правило Непера названо по имени Джона Непера, который опубликовал его в своём известном сочинении «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614), причём он его привёл в качестве демонстрации применения определённого им в этом труде нового математического понятия логарифм, и обе части равенства в мнемоническом правиле у Непера прологарифмированы. Изящное и наглядное математическое обоснование мнемонического правила Непера с помощью звёздчатого пятиугольника было дано Иоганном Ламбертом в его труде «Дополнения к применению математики и их приложения», увидевшем свет в 1765 году[3]. Позднее звёздчатый пятиугольник на сфере был использован Карлом Гауссом для обоснования этих же (вероятно, он не читал об этом в труде Ламберта) и других свойств, Гаусс назвал его «замечательной пентаграммой» (лат. pentagramma mirificum)[4].

Обоснование при помощи звёздчатого пятиугольника соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике оказалось в некоторой степени универсальным методом: Николай Лобачевский использовал последовательность из пяти прямоугольных треугольников для вывода зависимости между элементами прямоугольного треугольника в исследованном им пространстве, впоследствии индийский математик С. Мукопадиайа связал эту последовательность с пятиугольником в том же пространстве, а ещё позднее русский математик Александр Норден установил связь звездчатого пятиугольника на сфере с упомянутым пятиугольником в пространстве Лобачевского[3].

Примечания

править
  1. Степанов Н.Н. Мнемоническое правило Непера // Сферическая тригонометрия. — М.Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 48—49. — 154 с.
  2. Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. — М.Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
  3. 1 2 3 Б.Л.Лаптев. Ламберт — геометр. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 248-252.
  4. Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — С. xi. — 228 с.