Порядок интегрирования

В математическом анализе изменение порядка интегрирования — это методология, которая преобразует повторные интегралы (или кратные интегралы с использованием теоремы Фубини) функций в другие, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняются интегрирования. В некоторых случаях порядок интеграции может быть обоснованно изменен; в других — нет.

Постановка задачи

править

Задача для исследования — вычисление интеграла формы

 

где D — некоторая двумерная область в плоскости xy. Для некоторых функций f возможно явное интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Сложность этого обмена заключается в определении изменения описания области D.

Метод также применим и к другим кратным интегралам[1][2].

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл может быть сведен к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию делает численную оценку намного проще и эффективнее.

Отношение к интегрированию по частям

править
 
Рисунок 1: Интегрирование по треугольной области может быть выполнено с использованием вертикальных или горизонтальных полос в качестве первого шага. Это вид сверху вниз по оси z на плоскость x-y. Наклонная линия — это кривая y = x.

Рассмотрим повторный интеграл

 ,

который мы напишем, используя префиксную нотацию:

 .

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x остается постоянным — полоса шириной dx интегрируется первой по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется в отношении к переменной y вдоль направления y), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy вдоль оси y. Это формирует трехмерный срез шириной dx вдоль оси x, от y = a до y = x вдоль оси y и в направлении z = f (x, y). Стоит обратить внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется бесконечно мало только на срезе. Мы можем считать, что x — константа[3]. Это интегрирование показано на рисунке 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h(y) интегрировать нелегко. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса ширины dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z, а затем результат интегрируется от y = a до y = z, в результате чего получается:

 

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям, как указано ниже[4]:

 

Замена:

 

Что дает результат.

Интеграл в смысле главного значения

править

Для применения к интегралам в смысле главного значения[англ.] см. Уиттакер и Ватсон[5], Гахова[6], Лу[7], Цвиллингера[8]. См. также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана у Оболашвили[9]. Пример, когда порядок интеграции не может быть изменен, дал Канвал[10]:

 

в то время как:

 

Вторая форма вычисляется с использованием метода неопределённых коэффициентов и вычисления с использованием формулы Сохоцкого-Племеля[11]:

 

Обозначение   указывает главное значение Коши[англ.]. См. Канвал[10].

Основные теоремы

править

Обсуждение базиса для изменения порядка интегрирования можно найти в книге «Анализ Фурье» Т. В. Кёрнера[12]. Он вводит свое обсуждение с примером, в котором перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, поскольку условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

 
 
 

Две основные теоремы, определяющие допустимость обмена, цитируются ниже Чаудри и Зубайр[13]:

Теорема I:

Пусть f(xy) — непрерывная функция постоянного знака, определенная для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы      и      рассматриваются как функции соответствующего параметра, соответственно непрерывны при c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов      и      сходится, другой интеграл также сходится и их значения совпадают.

Теорема II:

Пусть f(xy) непрерывные функции для a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, и пусть интегралы      и      сходятся равномерно на каждом конечном интервале c ≤ y < C и на каждом конечном интервале a ≤ x < A. Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов      и      сходится, повторные интегралы      и      также сходятся и их значения равны.


Наиболее важная теорема прикладного характера цитируется Проттером и Морри[14]:

Предположим, что F это область, заданная    где p и q непрерывны и p(x) ≤ q(x) для a ≤ x ≤ b. Предположим, что f(xy) непрерывно на F. Тогда {{ }} Соответствующий результат верен, если замкнутая область F имеет представление    где r(y) ≤ s(y) для c ≤ y ≤ d.  В таком случае,

 

Другими словами, оба повторных интеграла, если их можно вычислить, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.

См. также

править

Примечания

править
  1. Seán Dineen. Multivariate Calculus and Geometry. — Springer, 2001. — P. 162. — ISBN 1-85233-472-X. Архивная копия от 22 января 2020 на Wayback Machine
  2. Richard Courant & Fritz John. Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics : [англ.]. — Springer, 2000. — P. 897. — ISBN 3-540-66569-2. Архивная копия от 22 января 2020 на Wayback Machine
  3. Double Integrals (англ.). Department of Mathematics, Oregon State University (1996). Дата обращения: 14 декабря 2020. Архивировано 21 ноября 2019 года.
  4. The Штрих «» обозначает производную в обозначениях Лагранжа..
  5. Edmund Taylor Whittaker. A Course of Modern Analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions : [англ.] / Edmund Taylor Whittaker, George Neville Watson. — 4th ed., repr. — Cambridge University Press, 1927. — P. §4.51, p. 75. — ISBN 0-521-58807-3.
  6. F. D. Gakhov. Boundary Value Problems : [англ.]. — Courier Dover Publications, 1990. — P. 46. — ISBN 0-486-66275-6. Архивная копия от 11 мая 2016 на Wayback Machine
  7. Jian-Ke Lu. Boundary Value Problems for Analytic Functions : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1993. — P. 44. — ISBN 981-02-1020-5. Архивная копия от 2 мая 2016 на Wayback Machine
  8. Daniel Zwillinger. Handbook of integration : [англ.]. — AK Peters Ltd., 1992. — P. 61. — ISBN 0-86720-293-9. Архивная копия от 3 июня 2016 на Wayback Machine
  9. Elena Irodionovna Obolashvili. Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems : [англ.]. — Birkhäuser, 2003. — P. 101. — ISBN 0-8176-4286-2. Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine
  10. 1 2 Ram P. Kanwal. Linear Integral Equations: theory and technique : [англ.]. — 2nd. — Boston : Birkhäuser, 1996. — P. 194. — ISBN 0-8176-3940-3. Архивная копия от 14 мая 2016 на Wayback Machine
  11. Обсуждение формулы Сохоцкого-Племеля см., например, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross. The Cauchy Transform. — American Mathematical Society, 2006. — P. 56. — ISBN 0-8218-3871-7. Архивная копия от 3 июня 2016 на Wayback Machine или Rainer Kress. Linear integral equations : [англ.]. — 2nd. — Springer, 1999. — P. Theorem 7.6, p. 101. — ISBN 0-387-98700-2. Архивная копия от 19 мая 2016 на Wayback Machine
  12. Thomas William Körner. Fourier Analysis : [англ.]. — Cambridge University Press, 1988. — P. Chapters 47 & 48. — ISBN 0-521-38991-7. Архивная копия от 8 мая 2016 на Wayback Machine
  13. M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair. On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications : [англ.]. — CRC Press, 2001. — P. Appendix C. — ISBN 1-58488-143-7. Архивная копия от 18 мая 2016 на Wayback Machine
  14. Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. Intermediate Calculus : [англ.]. — Springer, 1985. — P. 307. — ISBN 0-387-96058-9.

Ссылки

править