Правило устанавливает метод для деления многочлена
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
на бином
Q
(
x
)
=
x
−
r
{\displaystyle Q(x)=x-r}
для получения частного
R
(
x
)
=
b
n
−
1
x
n
−
1
+
b
n
−
2
x
n
−
2
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}
На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P (x ) на Q (x ).
Для того, чтобы поделить P (x ) на Q (x ) согласно данному алгоритму, нужно
Взять коэффициенты P (x ) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&&\\\end{array}}}
Спустить крайний левый коэффициент (a n
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
a
n
=
b
n
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}
Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
=
b
n
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}
Сложить два значения, расположенные в одном столбце:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
a
n
−
1
+
(
b
n
−
1
r
)
=
b
n
−
1
=
b
n
−
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}}
Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
a
n
−
1
+
(
b
n
−
1
r
)
⋯
a
1
+
b
1
r
a
0
+
b
0
r
=
b
n
−
1
=
b
n
−
2
⋯
=
b
0
=
s
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}
Числа b i R (x )), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток . Согласно теореме Безу , этот остаток равен P (r ).
Рабочий пример деления многочленов по алгоритму, описанному выше.
Пусть:
P
(
x
)
=
2
x
3
+
3
x
2
−
4
,
{\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,}
Q
(
x
)
=
x
+
1.
{\displaystyle Q(x)=x+1.}
Мы хотим найти
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
{\displaystyle P(x)/Q(x)}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
x
−
r
,
{\displaystyle x-r,}
x
+
r
.
{\displaystyle x+r.}
Q
(
x
)
=
x
+
1
=
x
−
(
−
1
)
.
{\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).}
Теперь применяем алгоритм:
1. Выписываем коэффициенты и число
r
.
{\displaystyle r.}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
x
1
,
{\displaystyle x^{1},}
2
3
0
−
4
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &&&&\\&&&&\\\end{array}}}
2. Спускаем первый коэффициент:
2
3
0
−
4
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}
3. Умножаем последнее полученное значение
r
:
{\displaystyle r:}
2
3
0
−
4
−
1
−
2
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}
4. Складываем значения:
2
3
0
−
4
−
1
−
2
2
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&1&&\\\end{array}}}
5. Повторяем шаги 3 и 4:
2
3
0
−
4
−
1
−
2
−
1
1
2
1
−
1
−
3
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&-1&1\\\hline &2&1&-1&-3\\\end{array}}}
2
,
1
,
−
1
{\displaystyle 2,1,-1}
−
3
{\displaystyle -3}
Итак, поскольку исходное число = делитель × частное + остаток , тогда
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
R
(
x
)
+
s
{\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s}
R
(
x
)
=
2
x
2
+
x
−
1
,
s
=
−
3
;
⇒
2
x
3
+
3
x
2
−
4
=
(
2
x
2
+
x
−
1
)
(
x
+
1
)
−
3.
{\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1,\ s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3.}
