Преобразование Лагерра

Преобразование Лагерра — интегральное преобразование, связывающее функцию $T(n)$ целого переменного (изображение) с функцией $f(t)$ вещественного переменного (оригинал).

Определение

Преобразованием Лагерра функции вещественной переменной $f(t)$ называется функция $T(n)$ целого переменного $n$ такая что:

$T(n)={\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}L_{n}(t)f(t)\,dt.$

где $L_{n}(t)$ - многочлены Лагерра $n$ - го порядка.

Применение

Применяется для решения дифференциального уравнения Лагерра

$Lx+nx=0$

где $Lx(t)=tx''(t)+(1-t)x'(t)$. Применение преобразования Лагерра сводит дифференциальную операцию $Lx$ к алгебраической по формуле

${\mathcal {T}}\left\{L\left[x(t)\right]\right\}=-nx^{*}(n)$.

Библиография

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.