Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для неотрицательного числового ряда

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

существует такое число $q$, $0<q<1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1$,

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$, при этом не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ для всех $n$, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

$\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho <1$, а если $\rho >1$ — расходится.

Замечание 1. Если $\rho =1$, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если $\rho =1$, и последовательность $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ стремится к своему пределу $\rho$ сверху, то про ряд всё-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство

1. Пусть, начиная с некоторого номера $N$, верно неравенство $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$, где $0<q<1$. Тогда можно записать $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$, $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$, …, $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$, откуда $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$. Это означает, что ряд $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+...$ меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые $N-1$ членов (последовательности $\{a\}$) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
2. Пусть $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ (начиная с некоторого N): тогда можно записать $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$. Это означает, что модуль членов последовательности $\{a\}$ не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность $\{a\}$ не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
3. Пусть $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$, начиная с некоторого $n=N$. При этом не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ для всех $n$, начиная с некоторого номера $N$. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ верно $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}<1$ для любого натурального $n$. В то же время, поскольку $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$, это означает, что для любого $q$, $0<q<1$ можно подобрать такое число $\varepsilon$, что $1-\varepsilon >q$ , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности $\{b\}$, где ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$, будут находиться на интервале $(1-\varepsilon ;1)$, то есть ${b_{n}}>q$. А это и означает, что не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ для всех $n>N$. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры

• Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

• Ряд $\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}$ расходится при всех $z\neq 0$, так как $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }|(n+1)z|=\infty .$

• Если $\rho =1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Ссылки

• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, pp. 171—183.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: § 3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bertrand criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Gauss criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Kummer criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2