Признак Дедекинда

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ (в общем случае $a_{n}$ и $b_{n}$ — комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} )$ сходится, если:

• ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})$ абсолютно сходится;
• $a_{n}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$;
• частичные суммы ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ ограничены.

Для несобственных интегралов

Произведение $f(x)g(x)$ ($f,g$ непрерывны на $(a,b]$ и $f,g:[a,b]=I\rightarrow \mathbb {R}$) интегрируемо на $I$, если:

• $F(x)=\int _{x}^{b}f(s)ds,a<x\leqslant b$ ограничен на $(a,b]$;
• $g^{\prime }(x)$ абсолютно интегрируема на $I$;
• $\lim _{x\rightarrow a+0}g(x)=0$.

Литература

• Математическая энциклопедия, Т.2, «И. М. Виноградов. Дедекинда признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.»
• Charles Swartz Introduction to gauge integrals