Открыть главное меню

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной формеПравить

Если существует предел

 

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится.

Замечание 1. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если  , и последовательность   стремится к своему пределу   сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

ДоказательствоПравить

  1. Пусть, начиная с некоторого номера  , верно неравенство  , где  . Тогда можно записать  ,  , ...,   , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим  , откуда  . Это означает, что ряд   меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые   членов (последовательности  ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
  2. Пусть   (начиная с некоторого N): тогда можно записать  . Это означает, что модуль членов последовательности   не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность   не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
  3. Пусть  , начиная с некоторого  . При этом не существует такого  ,  , что   для всех  , начиная с некоторого номера  . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда   и   удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда   верно   для любого натурального  . В то же время, поскольку  , это означает, что для любого  ,   можно подобрать такое число  , что   , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности  , где  , будут находиться на интервале  , т.е.  . А это и означает, что не существует такого  ,  , что   для всех  . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

ПримерыПравить

  • Ряд   абсолютно сходится для всех комплексных  , так как  
  • Ряд   расходится при всех  , так как  
  • Если  , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда   и   удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.