Необходимое и достаточное условия

(перенаправлено с «Признак (логика)»)

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условиеПравить

Если импликация   является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания   является необходимым условием для истинности высказывания  [1][2].

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условиеПравить

Если импликация   является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания   является достаточным условием для истинности высказывания  [1][2].

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.

Необходимое и достаточное условиеПравить

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают   или  .

Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции[3]:

 

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.


Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонтрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.

Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение   является необходимым условием для суждения  , то   обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение   является достаточным условием суждения   значит, что если истинно  , то   обязано быть истинным.

Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение   является необходимым условием для суждения   и суждение   является достаточным условием суждения  .

Если   является необходимым и достаточным условием  , как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.

Таблица истинности
A B      
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

ПримерПравить

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации AB
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.