Принцип Мопертюи

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Формулировка

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией $E$ и потенциальной энергией $U$. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы $\int {\sqrt {E-U}}ds=min$.

Доказательство

Рассмотрим вариацию $\delta \int {\sqrt {E-U}}ds=\int \left\{{\sqrt {E-U}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {E-U}}}}ds\right\}=0$. Воспользуемся равенствами $\delta ds={\frac {dx}{ds}}\delta dx$ и $\delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x$. Получим $\int {\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {E-U}}}}\delta xds=0$. Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: $\int _{1}^{2}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds$. Первый член обращается в нуль вследствие вариаций $\delta x$ на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия $\int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}\right\}\delta xds=0$ Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем ${\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}$. С учётом равенств $V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E-U}}$, $dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {E-U}}}$ получим правильные уравнения движения $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$. Этим доказывается справедливость принципа $\int {\sqrt {E-U}}ds=min$.

Литература

• Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.