Принцип симметрии Шварца

ФормулировкаПравить

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве   Далее, пусть множество   непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции   с множества   на большее множество  , где  , с помощью следующей функции:

  при  
  при  

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

ОбобщениеПравить

Допустим, что заданы области  , далее,   — дуги обобщенных окружностей. Обозначим через   область, которая симметрична   относительно  , аналогично определяется  . Теперь, если   конформно отображает   на  , притом  , тогда   может быть аналитически продолжена до конформного отображения   на  .

ЛитератураПравить

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.