Производная Гато

Произво́дная Гато́ — расширение концепции производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Ренэ́ Гато́.

Определение

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства над полем $\mathbb {R}$, а $F$ — отображение, действующее из $X$ в $Y$. Если для некоторого $x\in X$ и некоторого $h\in X$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства $Y$)

$dF(x,h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x) \over t},$

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения $F$ в точке $x$ (на приращении $h$). Отображение $dF(x,h)$ также называют первой вариацией отображения $F$ в точке $x$ (на приращении $h$).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности: если определён $dF(x,h)$, то для любого $k\in \mathbb {R}$ будет определён $dF(x,k\cdot h)=k\cdot dF(x,h)$.

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по $h$. Если линейность имеет место, то есть

$dF(x,h)=F'(x)\ h,$

где $F'(x)$ — ограниченный линейный оператор, то $F'(x)$ называется слабой производной (или производной Гато) отображения $F$ в точке $x$.

См. также

• Производная Фреше

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление — Любое издание.