Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

править

Пусть   и   суть два непустых компактных подмножества метрического пространства  . Тогда расстояние по Хаусдорфу,  , между   и   есть минимальное число   такое, что замкнутая  -окрестность   содержит   и также замкнутая  -окрестность   содержит  .

Замечания

править
  • Другими словами, если   обозначает расстояние между точками   и   в   то
     
  • Эквивалентное определение:
     
где   обозначает функцию расстояния до множества  .

Свойства

править

Пусть   обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства   с метрикой Хаусдорфа:

  • Топология пространства   полностью определяется топологией  .
  • (Теорема выбора Бляшке)   компактно тогда и только тогда, когда компактно  .
  •   полно тогда и только тогда, когда   полное.

Вариации и обобщения

править
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть   и   два компактных подмножества евклидова пространства, тогда   определяется как минимум   по всем движениям евклидова пространства  . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

править
  • Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
  • Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
  • Хаусдорф «Теория множеств»
  • Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.