Самосогласованная функция

В математической оптимизации самосогласованной функцией называют трижды дифференцируемую выпуклую функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, вторая и третья производные которой связаны неравенством:

$|f'''(x)|\leqslant 2\left(f''(x)\right)^{3/2}\quad \forall x\in {\mbox{dom }}f.$

Многомерную функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называют самосогласованной, если одномерная функция $\phi (t)=f(x+ht)$ является самосогласованной для любых $x,h\in \mathbb {R} ^{n}$.

Свойства

• Сумма самосогласованных функций является самосогласованной.
• Если $f(x)$ — самосогласованная функция, то самосогласованной является и функция $\alpha f(x)$ для любого действительного числа $\alpha \geqslant 1$.
• Композиция самосогласованной функции с аффинной является самосогласованной функцией.

Приложения

Существуют точные оценки глобальной сходимости метода Ньютона для самосогласованных функций.

Литература

• Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization. § 9.6.
• Б. Т. Поляк. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2006.