Сетка Вульфа

Сетка Вульфа в кристаллографии — стереографическая экваториальная проекция градусной сетки сферы из расположенного на её экваторе центра проекции, осуществляемая на плоскость меридиана, удалённого на 90° от выбранного центра. Данный меридиан называется основным меридианом сетки. Меридианы и параллели сетки Вульфа играют вспомогательную роль как проекции дуг больших и малых кругов сферы. Точки схождения меридианов называются полюсами сетки; отрезок прямой, соединяющей полюса сетки, называется осью сетки; отрезок прямой, равноудалённый от полюсов и перпендикулярный оси, называется экватором сетки.

Экваториальная сетка Вульфа с шагом координат 10°

Все построения и преобразования с использованием сетки Вульфа проводятся на кальке, на которую переносят центр сетки, её основной меридиан, ось и экватор, а также наносят точки, сферические координаты которых требуется преобразовать. Повороты кальки делаются с сохранением центровки относительно сетки.

Сетку Вульфа обычно строят с шагом координат в 2°.

Метод изобретён кристаллографом Георгием Вульфом.

Примеры применения

Сетка Вульфа позволяет графически, без дополнительных расчётов решать многие задачи геометрической кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками кристаллов, а так же навигационные и астрометрические задачи.

С помощью сетки Вульфа строится стереографическая экваториальная проекция точки, заданной своими сферическими координатами $\phi$₁ и $\rho$₁. Поворотом кальки вокруг центра сетки на требуемый угол с учётом его знака получают результирующие координаты точки $\phi$₂ и $\rho$₂ на сетке. В зависимости от класса решаемых задач координаты точек на сетке могут быть заданы различным образом.

В кристаллографии принят следующий порядок указания координат: углы $0^{\circ }\leq \phi <360^{\circ }$ отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от правого конца её экватора; углы $0^{\circ }\leq \rho \leq 180^{\circ }$ — вдоль оси и экватора, от центра сетки, при этом диапазон $90^{\circ }<\rho \leq 180^{\circ }$ соответствует проекциям точек, лежащих под плоскостью основного меридиана. Центр сетки соответствует координатам $\rho =0^{\circ }$ и $\rho =180^{\circ }$; правый конец экватора - $\rho =90^{\circ },\phi =0^{\circ }$; левый конец экватора - $\rho =90^{\circ },\phi =180^{\circ }$; "верхний" полюс - $\rho =90^{\circ },\phi =270^{\circ }$; "нижний" полюс - $\rho =90^{\circ },\phi =90^{\circ }$.

В геодезическом, навигационном или астрографическом применении сетки принят такой порядок указания координат: углы $-90^{\circ }\leq \phi \leq +90^{\circ }$, соответствующие широте, склонению или высоте над горизонтом, отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от левого конца её экватора; углы $0^{\circ }\leq \lambda <360^{\circ }$, соответствующие долготе, прямому восхождению или часовому углу — вдоль экватора сетки от правого его конца. Положения точек с координатами $\lambda >180^{\circ }$ находятся по правилу $360^{\circ }-\lambda$. Центр сетки имеет координаты $\lambda =90^{\circ }$ и $\lambda =270^{\circ }$.

В контексте решений навигационных задач сетка может представлять требуемую систему сферических координат, например, экваториальную, тогда северный полюс отображается на верхний полюс сетки, южный полюс - на нижний полюс сетки, небесный экватор - на экватор сетки; меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Зенит и надир находятся в точках, соответствующих географической широте местоположения наблюдателя: в точках $(\phi ,\lambda =180^{\circ })$ и $(-\phi ,\lambda =0^{\circ })$ соответственно. В этом случае вдоль основного меридиана отсчитываются склонения светил, а вдоль экватора сетки - часовые углы.

При использовании горизонтальной системы координат - зенит и надир находятся в соответствующих полюсах сетки, экватор сетки соответствует истинному горизонту наблюдателя. Меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Полюсы мира находятся на основном меридиане в точках $(90^{\circ }-\phi )$ и $(-90^{\circ }+\phi )$ соответственно. Точка севера (N) отображается на правый конец экватора, точка юга (S) - на левый, точки востока и запада - в центр сетки. В этом случае вдоль основного меридиана сетки (от точки юга) отсчитываются высоты светил над горизонтом; вдоль экватора сетки (от точки севера) - истинные пеленги светил.

Поворотом кальки вокруг центра сетки на соответствующий угол производится преобразование координат светила из горизонтальной в экваториальную систему координат и обратно.

Способ построения сетки Вульфа

Порядок построения сетки Вульфа

Воспользуемся тем свойством стереографической экваториальной проекции, что меридианы и параллели сетки Вульфа являются дугами окружностей.

Начертите окружность радиуса $R$ с центром в точке $C$, постройте два взаимно-перпендикулярных диаметра $P_{1}-P_{2}$ и $Q_{1}-Q_{2}$. Положительные значения угла $\phi$ отсчитываются по часовой стрелке от точки $Q_{2}$. Выбрав желаемый шаг координатной сетки - найдите на окружности $P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}$ вспомогательную точку $A_{\phi }$, отмеряющую на окружности дугу $Q_{2}-A_{\phi }$, кратную выбранному шагу по углу $\phi$. Найдите на луче $C-P_{2}$ вспомогательную точку $O_{\phi }$, лежащую на расстоянии $r_{\phi }={\frac {R}{\tan \phi }}$ от точки $A_{\phi }$. Взяв точку $O_{\phi }$ в качестве центра, прочертите от точки $A_{\phi }$ дугу радиусом $r_{\phi }$ внутри окружности; параллель широты $\phi$ построена. Параллели второй половины сетки строятся таким же образом, но углы $\phi$ отсчитываются от точки $Q_{1}$ и вспомогательные точки располагаются на луче $C-P_{1}$.

Для построения меридианов сетки с выбранным шагом, вычисляйте положение вспомогательной точки $O_{\lambda }$, находящейся на луче $C-Q_{2}$ на расстоянии $r_{\lambda }={\frac {R}{\sin \lambda }}$ от какого-либо полюса. Взяв точку $O_{\lambda }$ в качестве центра, прочертите между полюсами $P_{1}$ и $P_{2}$ дугу радиусом $r_{\lambda }$; меридиан долготы $\lambda$ построен. Меридианы второй половины сетки строятся таким же образом, но вспомогательные точки располагаются на луче $C-Q_{1}$.

Ссылки

• Вульфа сетка — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Вульф Г.В. Способ графического решения задач по космографии и математической географии. — Нижний Новгород, 1909.