Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы (см. ниже).

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли

\omega '=\sigma (\omega )

над пространством

\Sigma _{2}

двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть $\Sigma _{s}^{+}$ — пространство последовательностей в алфавите $\{1,\dots ,s\}$ , то есть,

\Sigma _{s}^{+}=\{(\omega _{j})_{j=1}^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\}.

Сдвигом Бернулли называется динамическая система $(\Sigma _{s}^{+},\sigma )$ , где $\sigma$ — отображение левого сдвига,

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{j+1}.\qquad (*)

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{j=-\infty }^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\};

получающуюся динамическую систему $(\Sigma _{s},\sigma )$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

X=\bigsqcup _{i=1}^{N}B_{i},

любой точке $x\in X$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{i_{k}}.\qquad (*)

При этом для необратимых динамических систем естественно рассматривать односторонние последовательности $(i_{k})$ односторонняя, то есть $k=0,1,2,\dots$ Для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, $k\in \mathbb {Z}$ .

Отображение $h:X\to \Sigma _{N}$ или $h:X\to \Sigma _{N}^{+}$ , заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

h\circ f=\sigma \circ h,

Где $\sigma$ — сдвиг Бернулли.

Отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным. Тем не менее, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве $\Sigma _{N}$ или на его части.

Литература

П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.