Символ оператора

Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.

Функции операторов, упорядоченных фейнмановскими номерами

Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:

$({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2},$

означает, что оператор $A$ действует первый, а оператор $B$ вторым, то есть

$({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2}={\overset {1}{A^{2}}}+2{\overset {1}{A}}{\overset {2}{B}}+{\overset {2}{B^{2}}}=A^{2}+2BA+B^{2}.$

Пространство полиномиальных символов

Пусть задана операторная алгебра $\mathbb {A}$

$A_{1},\dots ,A_{n}\in \mathbb {A} ,\quad n\in \mathbb {N} .$

$\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ — множество многочленов от $n$ переменных. Пусть определено отображение

$\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}:\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\rightarrow \mathbb {A} ,$

которое сопоставляет многочлену $f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]$:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}x_{1}^{\alpha _{1}}\dots x_{n}^{\alpha _{n}}$

оператор

$f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f)=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}A_{n}^{\alpha _{n}}\dots A_{1}^{\alpha _{1}}.$

Функция $f$ называется символом оператора $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).$

Общее определение

Пусть ${\mathcal {F}}_{n}$ — некоторый класс функций от переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$, содержащий полиномы $\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\subseteq {\mathcal {F}}_{n}$. Пусть задано отображение

$\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}:{\mathcal {F}}_{n}\rightarrow \mathbb {A}$

Со следующими свойствами:

1. Отображение $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}$ линейно.
2. $\mu _{A}$ гомоморфизм алгебр с единицей, причём если $f(x)=x$, то $\mu _{A}(f)=A$.
3. Если $f(x_{1},\dots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\dots f_{n}(x_{n})$, то $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{A_{n}}(f_{n})\dots \mu _{A_{1}}(f_{1}).$
4. $\forall f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\quad \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).$

Функция $f$ называется символом оператора $f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f).$

Литература

• Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973
• Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
• Символ оператора — статья из Математической энциклопедии. М. А. Шубин