Евклидово пространство: различия между версиями

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы <math>\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right)</math> был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство <math>\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|\leqslant 1.</math> Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется [[неравенство Коши — Буняковского — Шварца|неравенством Коши — Буняковского — Шварца]]. Из этого неравенства, в свою очередь, следует [[неравенство треугольника]]: <math>|u+v|\leqslant |u|+|v|.</math> Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является [[Норма (математика)|нормой]] на евклидовом векторном пространстве, а функция <math>d(x,y)=|x-y|</math> задаёт на евклидовом пространстве структуру [[Метрическое пространство|метрического пространства]] (эта функция называется [[Евклидова метрика|евклидовой метрикой]]). В частности, расстояние между элементами (точками) <math>x</math> и <math>y</math> координатного пространства <math>\mathbb R^n</math> задаётся формулой <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>