Ряд обратных квадратов: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) заменил мёртвую ссылку на доступную |
LGB (обсуждение | вклад) |
||
Строка 33:
== Сходимость ряда ==
Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд<ref name=VOR>{{книга|автор=Воробьёв Н. Н.|заглавие=Теория рядов|издание=4-е изд|место=М. |издательство=Наука |год=1979 |серия=Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов|страницы=52|страниц=408}}</ref>:
:<math>1 + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} \cdots</math>
Этот ряд [[Мажоранта ряда|мажорирует]] ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде [[Телескопический ряд|телескопической суммы]]:
: <math>1 + \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots\ </math>
[[Частичная сумма]] <math>S_n</math> этого ряда равна <math>2-{1\over n}, </math> поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по [[Признак сравнения|признаку сравнения]], и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в [[Интервал числовой оси|интервале]] <math>(1,2)</math><ref name=VOR/>.
Для оценки [[Скорость сходимости|скорости сходимости]] частичных сумм можно использовать формулу:
| |||