Аксиомы Пеано: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Vladzx (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Bums (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Аксио́мы Пеа́но''' — одна из систем [[Аксиома|аксиом]] для [[натуральное число|натуральных чисел]], введённая в XIX веке итальянским математиком [[Пеано, Джузеппе|Джузеппе Пеано]].
Аксиомы [[Пеано]] позволили [[Формальная система|формализовать]] [[Арифметика|арифметику]], [[Математическое доказательство|доказать]] многие свойства натуральных и [[Целое число|целых чисел]], а также использовать целые числа для построения [[Формальная теория|формальных теорий]] [[Рациональное число|рациональных]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]]. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде [[Метаматематика|метаматематических]] разработок, включая решение фундаментальных вопросов о [[Непротиворечивость|непротиворичевости]] и полноте [[Теория чисел|теории чисел]].
Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о [[Равенство (математика)|равенстве]], отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава, как сами собой подразумевающиеся. Следующие три — аксиомы на языке [[Логика первого порядка|логики первого порядка]] о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство [[Рекурсивная функция (теория вычислимости)|функции следования]]. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметикой Пеано называется более слабая система, получаемая из аксиом Пеано заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.
== О неполноте ==
Строка 46 ⟶ 48 :
== История ==
Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы [[Герман Грассман|Германа Грассмана]], который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году [[Пирс, Чарльз Сандерс|Чарльз Сандерс Пирс]] опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение [[натуральное число|натуральных чисел]] в [[1889 год в науке|1889 году]] сформулировал итальянский математик [[Пеано, Джузеппе|Пеано]], основываясь на более ранних построениях
|автор = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]]
|часть = Основания математики. Логика. Теория множеств
| |||