Википедия

Поле (алгебра): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Отклонено последнее 1 изменение (178.169.93.183): «раскрывается ниже» ­— неформат, «замкнутость» не требуется (частичн�
отмена правки 66350182 участника Bezik (обс) замкнутость нужна. Я специально убрал слово "алгебраическими"
Строка 8:
 
== Формальные определения ==
Алгебра над множеством <math>F</math>, образующая [[Абелева группа|коммутативную группу]] по сложению <math>+</math> над <math>F</math> с [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] <math>\boldsymbol{0}</math> и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math>, при выполняющемсявыполняющихся свойствезаконах [[дистрибутивность|дистрибутивности]] умножения относительно сложения. Определение раскрывается ниже.
 
Если раскрыть указанное выше определение, то множество <math>F</math> с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения <math>+</math> и умножения <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, т.е. <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) называется '''полем''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math>, если выполнены следующие аксиомы:▼
# Коммутативность сложения: <math> \forall a,b\in F\quad a+b=b+a </math>
# Ассоциативность сложения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)</math>
# Существование нулевого элемента: <math>\exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad a+\boldsymbol{0}=a</math>
# Существование противоположного элемента: <math>\forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=\boldsymbol{0}</math>
# Коммутативность умножения: <math>\forall a,b\in F\quad a*b=b*a</math>
# Ассоциативность умножения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)</math>
# Существование единичного элемента: <math>\exists e\in F\colon \forall a\in F\quad a*e=a </math>
# Существование обратного элемента для ненулевых элементов: <math>(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e</math>
# Дистрибутивность умножения относительно сложения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=a*c+b*c</math>
Аксиомы 1-4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению <math>+</math> над <math>F</math>, аксимомы 5-8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению <math>*</math> над <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math>, а 9 аксиома связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.
 
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее), поле может быть определено как [[коммутативное кольцо]], являющееся [[Тело (алгебра)|телом]]. Иерархия структур следующая:
 
: '''[[Коммутативное кольцо|Коммутативные кольца]]''' ⊃ '''[[целостное кольцо|целостные кольца]]''' ⊃ '''[[факториальное кольцо|факториальные кольца]]''' ⊃ '''[[область главных идеалов|области главных идеалов]]''' ⊃ '''[[евклидово кольцо|евклидовы кольца]]''' ⊃ '''поля'''
 
== Проверка множества на бытие полем ==
▲Если раскрыть указанное выше определение, то множествоМножество <math>F</math> с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения <math>+</math> и умножения <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, т.е. <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>)• называется '''полем''' <math>\left\langle F,+,*\bullet\right\rangle</math>, если выполнены следующие аксиомы:
# <math> \quad a+b=c, \forall a,b\in F </math> — замкнутость сложения
# <math>\quad (a+b)+c=a+(b+c), \forall a,b,c\in F</math> — ассоциативность сложения
# <math>\exists e\in F\colon\ a+e=e+a=a, \forall a\in F</math> — существование нейтрального элемента для сложения
# <math>\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=(-a)+a=e ,\forall a\in F\;</math> — существование противоположного элемента для сложения
# <math> \quad a+b=b+a,\forall a,b\in F </math> — коммутативность сложения
# <math> \quad a\bullet b=c, \forall a,b\in F </math> — замкнутость умножения
# <math>\quad (a\bullet b)\bullet c=a\bullet (b\bullet c),\forall a,b,c\in F</math> — ассоциативность умножения
# <math>\exists e\in F\colon a\bullet e=e\bullet a=a,\forall a\in F</math> — существование нейтрального элемента для умножения
# <math>\;\exists a^{-1}\in F \colon a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e,\forall a\in F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math> — существование обратного элемента для умножения
# <math>a\bullet b=b\bullet a,\forall a,b,c\in F</math> — коммутативность умножения
# <math>a\bullet (b+c)=a\bullet b+a\bullet c,\forall a,b,c\in F</math> — дистрибутивность
# <math>(a+b)\bullet c=a\bullet c+b\bullet c,\forall a,b,c\in F</math> — дистрибутивность
Аксиомы 1-2 соответствуют определению полугруппы по сложению, аксиомы 1-4 соответствуют определению группы по сложению, аксиомы 1-5 соответствуют определению абелевой группы по сложению, аксиомы 1-7, 11, 12 соответствуют определению кольца, аксиомы 1-12 соответствуют определению поля.
 
Стоит отметить, что нейтральный элемент <math>e</math> для сложения равен нулю, а для умножения — единице.
 
== Связанные определения ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Поле_(алгебра)